Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Принцип возможных перемещений : для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении была равна нулю. или в проекциях: .

Принцип возможных перемещений дает в общей форме условия равновесия для любой механической системы, дает общий метод решения задач статики .

Если система имеет несколько степеней свободы, то уравнение принципа возможных перемещений составляют для каждого из независимого перемещений в отдельности, т.е. будет столько уравнений, сколько система имеет степеней свободы.

Принцип возможных перемещений удобен тем, что при рассмотрении системы с идеальными связями их реакции не учитываются и необходимо оперировать только активными силами.

Принцип возможных перемещений формулируется следующим образом:

Для того, чтобы матер. система, подчиненная идеальным связям находилась в состоянии покоя, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ, производимых активными силами на возможных перемещениях точек системы была положительная

Общее уравнение динамики - при движении системы с идеальными связями в каждый данный момент времен сумма элементарных работ всех приложенных активных сил и всех сил инерции на любом возможном перемещении системы будет равна нулю. Уравнение использует принцип возможных перемещений и принцип Даламбера и позволяет составить дифференциальные уравнения движения любой механической системы. Дает общий метод решения задач динамики.

Последовательность составления:

а) к каждому телу прикладывают действующие на него задаваемые силы, а также условно прикладывают силы и моменты пар сил инерции;

б) сообщают системе возможные перемещения;

в) составляют уравнения принципа возможных перемещений, считая систему находящейся в равновесии.

Следует отметить, что общее уравнение динамики можно применять и для систем с неидеальными связями, только в этом случае реакции неидеальных связей, таких, например, как сила трения или момент трения качения, необходимо отнести к категории активных сил.

Работа на возможном перемещении как активных, так и сил инерций , ищется также как и элементарная работа на действительном перемещении:

Возможная работа силы: .

Возможная работа момента (пары сил): .

Обобщенными координатами механической системы называются независимые между собой параметры q 1 , q 2 , …, q S любой размерности, однозначно определяющие положение системы в любой момент времени.

Число обобщенных координат равно S - числу степеней свободы механической системы. Положение каждой ν-й точки системы, то есть ее радиус вектор в общем случае всегда можно выразить в виде функции обобщенных координат:

Общее уравнение динамики в обобщенных координатах выглядит в виде системы S уравнений следующим образом:

;

;

……..………. ;

(25)

………..……. ;

,

здесь - обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате :

(26)

а - обобщенная сила инерции, соответствующая обобщенной координате :

Число независимых между собою возможных перемещений системы называется числом степеней свободы этой системы. Например. шар на плоскости может перемещаться в любом направлении, но любое его возможное перемещение может быть получено как геометрическая сумма двух перемещений вдоль двух взаимно перпендикулярных осей. Свободное твердое тело имеет 6 степеней свободы.

Обобщенные силы. Каждой обобщенной координате можно вычислить соответствующую ей обобщенную силу Q k .

Вычисление производится по такому правилу.

Чтобы определить обобщенную силу Q k , соответствующую обобщенной координате q k , надо дать этой координате приращение (увеличить координату на эту величину), оставив все другие координаты неизменными, вычислить сумму работ всех сил, приложенных к системе, на соответствующих перемещениях точек и поделить ее на приращение координаты :

(7)

где - перемещение i -той точки системы, полученное за счет изменения k -той обобщенной координаты.

Обобщенная сила определяется с помощью элементарных работ. Поэтому эту силу можно вычислить иначе:

И так как есть приращение радиуса-вектора за счет приращения координаты при остальных неизменных координатах и времени t , отношение можно определять как частную производную . Тогда

где координаты точек - функции обобщенных координат (5).

Если система консервативная, то есть движение происходит под действием сил потенциального поля, проекции которых , где , а координаты точек - функции обобщенных координат, то

Обобщенная сила консервативной системы есть частная производная от потенциальной энергии по соответствующей обобщенной координате со знаком минус.

Конечно, при вычислении этой обобщенной силы потенциальную энергию следует определять как функцию обобщенных координат

П = П(q 1 , q 2 , q 3 ,…,q s ).

Замечания.

Первое. При вычислении обобщенных сил реакции идеальных связей не учитываются.

Второе. Размерность обобщенной силы зависит от размерности обобщенной координаты.

Уравнения Лагранжа 2-го рода выводятся из общего уравнения динамики в обобщенных координатах. Число уравнений соответствует числу степеней свободы:

(28)

Для составления уравнения Лагранжа 2-го рода выбираются обобщенные координаты и находятся обобщенные скорости . Находится кинетическая энергия системы, которая является функцией обобщенных скоростей, и, в некоторых случаях, обобщенных координат. Выполняются операции дифференцирования кинетической энергии, предусмотренные левыми частями уравнений Лагранжа.Полученные выражения приравниваются обобщенным силам, для нахождения которых помимо формул (26) часто при решении задач используют следующие:

(29)

В числителе правой части формулы - сумма элементарных работ все активных сил на возможном перемещении системы, соответствующем вариации i-й обобщенной координаты - . При этом возможном перемещении все остальные обобщенные координаты не изменяются. Полученные уравнения являются дифференциальными уравнениями движения механической системы с S степенями свободы.

Применяя совместно принцип Даламбера и принцип возможных перемещений к движущейся системе, можно сделать следующий вывод: при движении системы, на которую наложены совершенные связи, сумма элементарных работ всех заданных сил, действующих на систему, и сил инерции материальных точек системы равна нулю при любом возможном перемещении системы из занимаемою ею в каждый данный момент положения.

Этот результат выражается одним из следующих уравнений:

или, так как ,

или в координатной форме

Уравнение (242), или (243), или (244) называется общим уравнением динамики (уравнением Даламбера - Лагранжа).

В настоящем параграфе рассмотрим задачи двух типов:

I. Задачи, в которых требуется установить условия относительного равновесия системы.

II. Задачи, в которых требуется определить ускорения точек системы.

В задачах каждого из этих типов могут рассматриваться системы с одной или несколькими степенями свободы.

Задачи типа I (задачи 925-929, 935-939)

Пример 182. Центробежный регулятор (рис. 220) состоит из двух шаров и весом каждый, размерами которых можно пренебречь. Шары закреплены на концах и коленчатых прямоугольных рычагов, которые имеют шарнирные опоры и на перекладине , соединенной неизменно с осью регулятора. Муфта D весом отжимается вниз пружиной, а с другой стороны поддерживается роликами рычагов регулятора. Определить жесткость с пружины, если при заданной постоянной угловой скорости угол отклонения стержней СА и от вертикали равен . Даны расстояния: и длина недеформированной пружины . Высота муфты равна .

Решение. Координашые оси располагаем, как указано на рис. 220.

Заданными силами, действующими на систему, являются веса шаров и муфты, а также сила упругости пружины , где к - деформация (сжатие) пружины. Кроме того, в точках А и приложим центробежные силы инерции , где R - расстояние от центра каждого из шаров до оси вращения у.

На основании уравнения Даламбера-Лагранжа сумма работ всех этих сил при любом возможном перемещении системы равна нулю. Следовательно, пользуясь аналитическим выражением элементарной работы, имеем

Принцип возможных перемещений дает общий метод решения задач статики. С другой стороны, принцип Даламбера позволяет использовать методы статики для решения задач динамики. Следовательно, применяя эти два принципа одновременно, мы можем получить общий метод решения задач динамики.

Рассмотрим систему материальных точек, на которую наложены идеальные связи. Если ко всем точкам системы кроме действующих на них активных сил и реакций связей прибавить соответствующие силы инерции то согласно принципу Даламбера полученная система сил будет находиться в равновесии. Тогда, применяя к этим силам принцип возможных перемещений, получим

Но последняя сумма по условию (98) равна нулю и окончательно будет:

Из полученного результата вытекает следующий принцип Даламбера - Лагранжа: при движении механической системы с идеальными связями в каждый момент времени сумма элементарных работ всех приложенных активных сил и всех сил инерции на любом возможном перемещении системы будет равна нулю.

Уравнение (102), выражающее этот принцип, называют общим уравнением динамики. В аналитической форме уравнение (102) имеет вид

Уравнения (102) или (103) позволяют составить дифференциальные уравнения движения механической системы.

Если при этом система представляет собой совокупность каких-нибудь твердых тел, то для составления уравнений нужно к действующим на каждое тело активным еилам прибавить приложенную в любом центре силу, равную главному вектору сил инерции, и пару с моментом, равным главному моменту сил инерции относительно этого центра (или одну из этих величин, см. § 134), а затем применить принцип возможных перемещений.

Задача 173. В центробежном регуляторе, равномерно вращающемся вокруг вертикальной оси с угловой скоростью со (рис. 362), вес каждого из шаров и равен вес муфты равен Q. Пренебрегая весом стержней, определить угол а, если

Решение. Присоединяем к активным силам центробежные силы инерции (сила инерцни муфты, очевидно, будет равна нулю) и составляем общее уравнение динамики в виде (103). Тогда, вычисляя проекции всех сил на координатные оси, получим

Координаты точек приложения сил равны:

Дифференцируя эти выражения, находим:

Подставляя все найденные значения в уравнение (а), получаем

Отсюда окончательно

Так как то шары будут отклоняться, когда . С увеличением угол а растет, стремясь к 90° при

Задача 174. В подъемнике, изображенном на рис. 363, к шестерне имеющей вес и радиус инерции относительно ее оси приложен вращающий мемент М. Определить ускорение поднимаемого груза 3 весом Q, пренебрегая весом веревки и трением в осях. Барабан, на который наматывается веревка, жестко скреплен с другой шестерней; их общий вес равен , а радиус инерции относительно оси вращения Радиусы шестерен равны соответственно а радиус барабана .

Решение. Изображаем действующую на систему активную силу Q и вращающий момент М (силы работы не совершают); присоединяем к ним силу инерции груза и пары с моментами и к которым приводятся силы инерции вращающихся тел (см. § 134).

Принцип возможных перемещений, дающий общий метод решения задач статики, можно применить к решению задач динамики. Как известно, согласно принципу Д’Аламбера, совокупность всех сил, действующих на механическую систему, и сил инерции образует в каждый момент времени уравновешенную систему сил. Тогда, применив к этим силам принцип возможных перемещений, для механической системы получим уравнение

Это уравнение выражает следующий принцип Д’Аламбера - Лагранжа: при движении механической системы в каждый момент времени сумма элементарных работ всех действующих на систему сил и всех сил инерции на любом возможном перемещении системы равна нулю. Уравнение (24.1) называют общим уравнением динамики.

В первое слагаемое уравнения (24.1) входит работа активных сил и работа реакций связей. Если на систему наложены идеальные связи, то для их реакций

и общее уравнение динамики для системы с идеальными связями принимает вид

Так как в уравнения (24.1), (24.2) входит работа сил инерции, величина которых выражается через ускорения точек, то эти уравнения дают возможность составлять дифференциальные уравнения движения механической системы. Если система представляет собой совокупность каких-нибудь твердых тел, то множество сил инерции всех точек каждого тела целесообразно заменить их силовыми эквивалентами: приложенной в каком-либо центре силой, равной главному вектору сил инерции тела, и парой сил инерции с моментом, равным главному моменту сил инерции относительно этого центра.

Для системы, имеющей s степеней свободы, уравнение работ

(24.2) может быть записано через обобщенные силы и обобщенные координаты в виде

где Qj - обобщенная активная сила; Q 1 * - обобщенная сила инерции, соответствующая обобщенной координате q f .

Так как возможные перемещения 8q , между собой независимы и каждое из них в общем случае не равно нулю, то условие (24.3) будет выполняться, если

где s - число обобщенных координат или число степеней свободы системы.

Уравнения (24.4) выражают общее уравнение динамики в обобщенных силах.

Задача 24.1. Механическая система (рис. 24.1) состоит из двухступенчатого шкива I (вес Р ] - 20 Н, радиусы ступеней R- 0,4 м, г - 0,2 м, радиус инерции относительно оси вращения р = 0,3 м), обмотанного нитями, на концах которых прикреплены груз А (весом Р 2 = 10 Н) и каток (сплошной однородный цилиндр весом Р 3 = 80 Н). Каток катится без скольжения по шероховатой наклонной поверхности с углом наклона а = 30°. Система движется в вертикальной плоскости под действием сил тяжести и вращающего момента М - 6 Н м, приложенного к шкиву I. Определить угловое ускорение шкива, считая тела абсолютно твердыми, а нити нерастяжимыми.

Решение. 1. Рассмотрим движение механической системы, состоящей из тел 1, 2, 3, соединенных нитями. Связи, наложенные на систему, - идеальные. Система имеет одну степень свободы. Выберем в качестве обобщенной координаты угол ср, - угол поворота шкива 1.

Для определения углового ускорения е шкива применим общее уравнение динамики (24.2)

где 28/4 ^ - сумма элементарных работ активных сил; 28/4” - сумма элементарных работ сил инерции.

2. Изображаем на чертеже активные силы Р х, Р 2 , Р 3 и вращающий момент М. Реакции идеальных связей (в точках О и Л) на чертеже не показываем.

Задаемся направлением углового ускорения s шкива против хода часовой стрелки. В соответствии с этим изображаем на чертеже ускорение а 2 груза и ускорение а в центра масс В цилиндрического катка. Теперь к активным силам, действующим на систему, присоединим силы инерции, направляя их противоположно соответствующему ускорению. Числовые значения этих величин определяются по формулам

В эти формулы подставлены значения моментов инерции J 0 шкива и J в сплошного однородного цилиндра 3.

3. Сообщим системе возможное перемещение 5фj >0; при этом груз Л получит перемещение 5s 2 , точка В катка - перемещение 5s B , а каток 3 повернется на угол 5ф 3 , направленный против хода часовой стрелки.

Составив уравнение (а), получим

Для решения этого уравнения и определения углового ускорения е необходимо выполнить две подготовительные операции: выразить все перемещения через приращение обобщенной координаты и величины всех ускорений выразить через искомое ускорение.

Все перемещения, участвующие в уравнении (в), выражаем через 5cpj:

При составлении последнего равенства учтено, что точка К цилиндра 3 является мгновенным центром скоростей.

Величины ускорений а 2 , а в, s 3 , участвующие в формулах (б), выразим через искомое угловое ускорение s:

Подставив величины (б) при учете равенств (д) и соотношений (г) в уравнение (в) после упрощений приведем его к виду

Так как бф, 0, то приравниваем к нулю выражение, стоящее в фигурных скобках. Из полученного в результате этого уравнения найдем искомую величину

Вычисления дают следующий ответ: s = 2,4 с; знак указывает, что угловое ускорение шкива направлено так, как предполагалось в начале расчета, т. е. как показано на рис. 24.1.

Например, если бы в этой же задаче вращающий момент был равен М = 2 Н м, то в результате вычислений по формуле (ж) получили бы е = -2,4 с -1 ; это означало бы, что в рассматриваемом случае угловое ускорение шкива было бы направлено противоположно изображенному на рис. 24.1.

В решениях задач динамики как частный случай содержится решение соответствующей задачи статики. Если бы для рассматриваемой механической системы (см. рис. 24.1) определялось условие равновесия по принципу возможных перемещений, то получили бы расчетное уравнение

Как видим, в левой части равенства стоит выражение числителя формулы (ж), т. е. определено условие, при котором 8 = 0 (что соответствует покою системы либо движению с равномерным вращением шкива). Смысл этого равенства заключается в том, что обобщенная активная сила системы на возможном перемещении 8ф, равна нулю, т. е. Q“ = 0.

Легко показать, что все типы связей, обычно рассматриваемые в задачах механики – гладкая поверхность, идеальная нить, шарниры, подпятник, глухая заделка ‑ являются идеальными. Неидеальность связей часто обусловлена наличием трения скольжения или качения. В этом случае часть реакции связи, для которой нарушается идеальность, переводится формально в разряд активных сил и задается в условии или определяется в задаче. В дальнейшем мы будем рассматривать именно такие механические системы, то есть системы с идеальными связями или со связями, которые описанным приемом могут быть переведены в разряд идеальных. Для таких систем имеет смысл сформулировать положение, которое также имеет форму аксиомы, объединяющее II закон Ньютона, принцип независимости действия сил (точнее правило параллелограмма), принцип освобождаемости от связей и принцип идеальности связей. Это положение называется в литературе по механике по-разному – принцип д’Аламбера-Лагранжа, общее вариационное уравнение механики, общее уравнение динамики и др. Применение этого принципа для вывода других положений и теорем теоретической механики дает существенный выигрыш, и будет использоваться нами постоянно.

Каждая точка механической системы может взаимодействовать с другими точками и телами данной механической системы, с точками и телами, не принадлежащими ей, а также с внутренними и внешними связями. Объединим все силы реакций указанных связей, действующих на i -ю точку МС, в одну силу , согласно правилу параллелограмма складывая их попарно. То же самое сделаем с активными силами, получим силу . С помощью 2-го закона Ньютона запишем уравнения движения точек системы

, i=1,2,…,N . (5.1)

Чтобы применить условие идеальности связей, надо разрешить эти уравнения относительно реакций связей и подставить полученные выражения в (4.8). Это дает

.

Для более удобной формулировки этого принципа поменяем местами слагаемые в круглых скобках. Величину

имеющую размерность силы, в механике принято называть Д’Аламберова сила инерции точки или просто сила инерции точки . Тогда

в каждый момент времени при движении механической системы с идеальными удерживающими связями сумма виртуальных работ активных сил и сил инерции равна нулю

или (5.2)

Обобщенные силы . Пусть имеется явно или неявно заданное выражение радиус-векторов точек системы через обобщенные координаты и время t

, i =1,2,…,N . (5.3)

Применим операцию изохронного варьирования к выражению (7.1), заключающуюся в том, что надо взять дифференциал от функции нескольких переменных , полагая время фиксированным. Получим

Подставим это выражение в формулу виртуальной работы i -ой активной силы и просуммируем эти работы по всем точкам системы. Получим

.

Перегруппируем слагаемые в этом выражении и изменим порядок суммирования, получим

Здесь , k=1,2,…,s (5.6)

и есть обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате с номером k . Таким образом, обобщенную силу можно определить как

коэффициент, стоящий перед вариацией обобщенной координаты в выражении виртуальной работы системы.

Из выражений (5.5) и (5.6) можно получить два способа вычисления обобщенных сил. Один - прямо по определению, второй – по формуле (5.6), если заданы проекции сил и аналитические зависимости координат их точек приложения от обобщенных (5.4). В дальнейшем мы рассмотрим подробнее способы вычисления обобщенных сил. Для ближайших целей нам достаточно выражения (5.6) и данного определения. Подчеркнем, что обобщенная сила, в отличие от обычной, является скалярной величиной и называется так только потому, что выражение (5.3) по форме напоминает выражение виртуальной работы силы

Из правой части этой формулы видно, что имело бы смысл говорить об обобщенных силах как проекциях сил системы на обобщенные координаты.

Совершенно аналогично, можно записать выражение для обобщенной силы инерции, подставив в (7.4) вместо активной силы силу инерции

, k=1,2,…,s. (5.7)

Общее уравнение механики в обобщенных координатах . На основании (5.5) запишем выражение виртуальных работ активных сил и сил инерции механической системы и приравняем его нулю согласно (5.2)

откуда, благодаря независимости вариаций обобщенных координат друг от друга, что имеет место для голономных систем , следует s уравнений

или в другой форме, напоминающей II закон Ньютона (3.10)

Эти уравнения и являются уравнениями, описывающими динамическое поведение механической системы с голономными связями. Их можно применять непосредственно для вывода уравнений движения. Основная трудность здесь состоит в получении выражений приведенных сил инерции, которые можно определить по формулам (5.7). В дальнейшем будет показано, как можно построить алгоритмы компьютерной алгебры для автоматизации построения уравнений движения достаточно широкого класса механических систем на базе уравнений (5.6)-(5.8). Однако для «ручного» вывода уравнений движения более предпочтительным оказывается применение уравнений Лагранжа II рода, которые получаются из (5.8) выражением обобщенных сил инерции (5.7) через кинетическую энергию системы.

Лекция 6. Уравнения Лагранжа II рода .

Найдем слагаемое с номером i в правой части (5.7), используя выражения (5.3).

.

Здесь использованы два тождества Лагранжа

, .

После суммирования получим обобщенную силу инерции

.

Здесь величина , где -скорость i -ой точки, есть, очевидно, кинетическая энергия механической системы.

Окончательно получим

, k=1,2,...,s, (6.1)

где s - число степеней свободы, - кинетическая энергия, , , - обобщенная координата, обобщенная скорость и обобщенная активная сила с порядковым номером данной механической системы.

Составление уравнений движения в форме (6.1) сводится к выполнению ряда формальных действий

· выбрать обобщенные координаты - параметры любой геометрической или физической природы, однозначно определяющие положение системы в любой момент времени;

· записать выражение кинетической энергии системы в виде суммы кинетических энергий точек и тел системы через инерционные параметры (массы точек и тел, моменты инерции тел) и обобщенные координаты и скорости;

· получить выражения производных кинетической энергии, входящие в левую часть (6.1);

· записать выражение виртуальных работ сил системы при варьировании каждой обобщенной координаты, коэффициенты перед вариацией соответствующей обобщенной координаты дают формулу для обобщенной силы, соответствующей этой обобщенной координате.

Для применения полученных уравнений Лагранжа II рода на практике необходимо получить рабочие формулы вычисления виртуальных работ и кинетической энергии системы, что в свою очередь, требует разобраться с инерционными характеристиками механических систем и тел.

Вычисление обобщенных сил. Существует три способа вычисления обобщенных сил.

Первый способ предполагает прямое вычисление коэффициентов при вариациях обобщенных координат в выражении виртуальной работы. Удобнее здесь варьировать не все сразу обобщенные координаты, а по одной. Записывается выражение работы на виртуальном перемещении системы, отвечающем вариации только одной обобщенной координаты, например, с номером k - , как алгебраическую сумму виртуальных работ активных сил, приложенных к телам и точкам механической системы . Затем, вынося за скобки общий сомножитель - вариацию обобщенной координаты , получим выражение для обобщенной силы

Для системы с несколькими степенями свободы такую операцию следует проделать столько раз, сколько обобщенных координат.

Второй способ основан на зависимостях типа (5.3), заданных в явном виде. Тогда обобщенные силы определятся выражением (5.6)

, k=1,2,…,s.

Третий способ опирается на знание потенциальной энергии системы как функции координат ее точек . Подставляя в нее выражения (5.3), получим зависимость потенциальной энергии от обобщенных координат , а виртуальная работа будет

Сравнивая коэффициенты при одинаковых вариациях, найдем

Понятно, что лучше сразу по возможности построить функцию потенциальной энергии системы от обобщенных координат .

Пример составления уравнений Лагранжа II рода. Найти ускорение бруса, перемещающегося по каткам на наклонной плоскости, составляющей угол a= 30 0 с горизонтальной плоскостью (рис. 6.1). Масса бруса кг , массы цилиндрических катков одинаковы и составляют кг . Коэффициент трения качения каждого катка составляет м , а радиус см.

Решение. Механическая система, состоящая из бруса и двух катков, имеет одну степень свободы. Выберем в качестве обобщенной координаты перемещение бруса вдоль наклонной плоскости . Тогда ее вариацию (виртуальное перемещение бруса вдоль наклонной плоскости вниз) обозначим .

Найдем кинетическую энергию системы, учитывая, что кинетические энергии катков одинаковы.

Здесь - кинетическая энергия поступательно движущегося бруса:

.

Кинетическая энергия катков, которую найдем по формуле для плоскопараллельного движения твердого тела

,

где - скорость центров масс катков, - угловая скорость качения катков, - момент инерции катка относительно собственного центра, где - радиус катка. .

Откуда найдем обобщенную силу, как коэффициент перед вариацией обобщенной координаты

. (6.3)

Подставим (8.2) и (8.3) в уравнения (5.1), получим

м/с 2 . (6.4)

Таким образом брус будет двигаться вниз равноускоренно с ускорением 4,95 м/с 2 .

Замечания. Обычно вызывает определенную трудность трактовка знака результата, который получается при изменении направления виртуального перемещения , показанного на рис. 6.1 пунктирной стрелкой. Часто заранее неизвестно направление движения системы. В этом случае варьировать можно «наугад», так как виртуальное перемещение не обязано привязываться к действительному движению, поэтому мы вправе направить его куда угодно. Допустим, что в предыдущей задаче мы дадим виртуальное перемещение по пунктирной стрелке. В этом случае левая часть уравнений (6.2) не меняется, а при вычислении правой части, в (6.3) появится знак «-» в работах сил тяжести и знак «+» в работе трения качения. В итоге знак «-» перейдет и в формулу результата ‑ ускорения бруса (6.4). Это, конечно, не будет свидетельствовать о том, что брус двигается замедленно. На самом деле, при вычислении обобщенной силы через виртуальную работу, мы фактически записываем проекции сил системы на направление виртуального перемещения. Поэтому и результат, даваемый формулой (6.4), надо трактовать, как проекцию вектора обобщенного ускорения бруса на это направление. Таким образом, сделаем вывод, что брус будет двигаться вниз с постоянным ускорением 4,95 м/с 2 .

При наличии сил трения их надо направлять в соответствии с направлением действительного движения. Варьирование координат не всегда можно связать с действительным движением. В этом случае, могут появиться выражения для виртуальных работ сил трения со знаком «+», как в рассмотренном примере при виртуальном перемещении бруса по пунктирной стрелке. С формальной точки зрения это не должно смущать, так как это виртуальные , а не действительные работы. Другое дело, что, часто, не решив до конца задачу, мы не знаем направления действительных перемещений точек, а, значит, направлений сил трения. В этом случае может понадобиться решить несколько задач, делая различные предположения о направлении этих сил. И остановиться надо на логически оправданном решении. Иногда удается учесть аналитически знаки проекций сил трения, связав их с алгебраическими значениями скоростей соответствующих тел и точек.